파이썬 적분 구현, 면적 구하기 예제(부정적분, 정적분, 구분구적법)

Python 적분, 면적 계산하기

파이썬에서 부정적분, 정적분 및 구분구적법을 계산하는 방법을 살펴보고

그래프 아래의 면적을 적분을 통해서 구하는 방법까지 다루어 보겠습니다.

 

 

부정적분 계산

예시로, 아래와 같은 간단한 함수를 적분하는 예시를 살펴보겠습니다.

$$\ f(x) = e^x + 2 x^2 + 3x + 4$$

적분 계산은 sympy 모듈을 통하여 진행되는데, 먼저 식 표현은 아래와 같이 해주시면 됩니다.

import sympy as sy

x = sy.symbols('x') # x를 변수로 사용함을 선언

f = sy.exp(x) + 2 * x ** 2 + 3 * x + 4
f

이제 표현해둔 식에서 다음과 같은 부정적분의 계산을 해보겠습니다.

$$\ \int e^x + 2 x^2 + 3x + 4\; dx$$

sympy 모듈의 integrate 함수에 (함수, 변수) 형태로 넣어주시면 부정적분 계산이 완료됩니다.

sy.integrate(f, x)

 

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정적분 계산

부정적분 계산 결과를 이용하여 주어진 그래프 아래의 면적에 해당하는

정적분 값도 계산이 가능합니다.

 

예시로, 위의 함수에서 2에서 5까지 정적분을 진행한 다음과 같은 값을 계산해 보겠습니다.

$$\ \int_{2}^{5} e^x + 2 x^2 + 3x + 4\; dx$$

값의 대입은 선언한 함수의 subs 메소드에서 subs(변수, 값) 형태로 지정해주시면 됩니다.

F = sy.integrate(f, x)

# x에 대하여 2~5 범위에서 정적분 값 계산
F.subs(x, 5) - F.subs(x, 2)

만일, 소수점 형태로 결과를 반환받고 싶다면 evalf() 메소드를 추가 실행해주시면 됩니다.

(F.subs(x, 5) - F.subs(x, 2)).evalf()

 

 

구분구적법 계산

구분구적법은 원하는 정적분의 범위를 n등분 하여

각 눈금 사이에서의 직사각형 넓이의 합으로 전체 면적을 근사하는 방법입니다.

 

위에서 계산했던 함수와 정적분을 numpy 모듈을 통하여 아래와 같이

구분구적법으로 다시 계산해볼 수 있습니다.

import numpy as np

numbers = 10000 # 등분할 눈금의 숫자

x_lin = np.linspace(2, 5, numbers) # 2 ~ 5범위를 10000등분한 x좌표

def f(x): # 함수 선언
    return 2 * x ** 2 + 3 * x + 4 + np.exp(x)

area = 0 # 면적을 저장할 변수

for i in range(numbers - 1): # 눈금 수 - 1까지임에 유의
    x_1 = x_lin[i] # 눈금 앞쪽 x좌표
    x_2 = x_lin[i+1] # 눈금 뒤쪽 x좌표
    area += (x_2 - x_1) * f(x_2) # 각 눈금 사이의 직사각형 넓이

print(area) # 262.5529106476566

정적분으로 계산한 결과와 거의 유사한 값이 반환된 것을 볼 수 있었습니다.